यदि int {frac{{x + 1}}{{sqrt {2x - 1} }}} dx | vedclass

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Question

(D) माना $2x - 1 = t^2$ है। तब $2 dx = 2t dt$,अर्थात $dx = t dt$ है।साथ ही,$x = \frac{t^2 + 1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $x + 1 = \frac{t^2 + 1}{2} + 1 = \

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$\frac{1}{3}(x + 4)$

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(D) माना $2x - 1 = t^2$ है। तब $2 dx = 2t dt$,अर्थात $dx = t dt$ है।साथ ही,$x = \frac{t^2 + 1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $x + 1 = \frac{t^2 + 1}{2} + 1 = \frac{t^2 + 3}{2}$ है।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$\int \frac{x + 1}{\sqrt{2x - 1}} dx = \int \frac{(\frac{t^2 + 3}{2})}{t} (t dt) = \int \frac{t^2 + 3}{2} dt$$= \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} + 3t) + C = \frac{t^3}{6} + \frac{3t}{2} + C$$= t (\frac{t^2}{6} + \frac{3}{2}) + C = t (\frac{t^2 + 9}{6}) + C$चूंकि $t = \sqrt{2x - 1}$ है,इसलिए $t^2 = 2x - 1$ है।$t^2$ का मान वापस रखने पर:$= \sqrt{2x - 1} (\frac{2x - 1 + 9}{6}) + C = \sqrt{2x - 1} (\frac{2x + 8}{6}) + C$$= \sqrt{2x - 1} (\frac{x + 4}{3}) + C$.इसकी तुलना $f(x) \sqrt{2x - 1} + C$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{3}(x + 4)$ प्राप्त होता है।

यदि $\int {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {2x - 1} }}} dx = f(x) \sqrt {2x - 1} + C$ है,जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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